Рассмотрим малые пути Р1Р2 и А1А2, симметричные относительно перигелия и афелия и совершаемые за одинаковые промежутки времени t. Согласно второму закону Кеплера площади секторов SA1A2 и SP1P2 должны быть равны. Дуги эллипса A1A2 и Р1Р2 равны vAt и vPt. На рис.200 для наглядности дуги сделаны довольно большими. Если же взять эти дуги крайне малыми (для чего промежуток времени t должен быть малым), то отличием дуги от хорды можно пренебречь и рассматривать описанные радиус-вектором секторы как равнобедренные треугольники SA1A2 и SP1P2. Их площади равны соответственно vAtrA/2 и vPtrP/2, где rА и rР — расстояния от афелия и перигелия до Солнца. Значит, vArA=vPrP, откуда vA/vP=rP/rA. Наконец, подстав-
239
ляя это соотношение в (123.1), найдем
(123.2)
Так как в перигелии и афелии тангенциальные ускорения равны нулю, то аP и аА представляют собой ускорения планеты в этих точках. Они направлены к Солнцу (вдоль большой оси орбиты).
Расчет показывает, что и во всех других точках траектории ускорение направлено к Солнцу и изменяется по тому же закону, т. е. обратно пропорционально квадрату расстояния планеты от Солнца; поэтому для любой точки орбиты
(123.3)
где а — ускорение планеты, r — расстояние от нее до Солнца. Таким образом, ускорение планеты обратно пропорционально квадрату расстояния между Солнцем и планетой. Рассматривая угол, составляемый радиус-вектором планеты с касательной к траектории, видим (рис. 201), что при движении планеты от афелия к перигелию тангенциальная составляющая ускорения а? положительна и скорость планеты растет; наоборот, при движении от перигелия к афелию скорость планеты уменьшается. В перигелии планета достигает наибольшей скорости, в афелии — наименьшей скорости движения. далее